mini congruit

Todo comenzó porque en un estado de FB una amiga publicó un textito muy bonito donde Peano y el "cero" venía a cuento, y yo no sabía quién era Peano. Como suele ocurrir con todo lo que tiene que ver con matemáticas abstrusas y arcanas, ya sabía que lo que pudiera captar sería a penas suficiente para entender la metáfora de lleno. Y, bueno, después de investigar un poco, entendí la metáfora, pero hubo otra palabra que me saltó a las narices: axioma. 

Unas pocas semanas antes estuve sufriendo con el texto de Alberto porque hablaba de las dignitates, hasta que Pilar, mucho más enterada que yo de lógica medieval, me explicó que era el término de Boecio para los axiomas. Después de unos minutos entendí ¡ay, qué bonito lo tradujo! y es que axioma viene del griego ἀξιόω que quiere decir lo que se tiene en alta estima. 

Poco tiempo después me encontré en Alberto una frase: et hoc congruit... que en ese texto no quería decir otra cosa como que "esto es pertinente", pero que mi cerebro se negaba a entender, porque las otras veces que había visto congruere tenía que ver con geometría. Y, días después, de nuevo en FB, encontré un comentario sobre la gente que es congruente con sus principios. Es curioso como funciona el cerebro: llevo tanto batallando con la teoría de la demostración en Alberto y los primeros principios, que una idea surgió: el vocabulario sobre los principios funciona igual si se trata de principios epistémicos o morales. 

Lo curioso es que el sentido coloquial que tenemos más a la mano es el moral, y lo tenemos tan asimilado como cuando decimos que alguien es muy estoico: no pensamos que sea un plenista que cree en la conflagración y el eterno retorno, simplemente entendemos que no se queja. Total que, recordando la tesis de E. (sobre la relación, justamente, entre Analíticos Posteriores y la Ética en Aristóteles) se me ocurrió escribir un textito en el blog que fuera desde nuestra exigencia moral de tener congruencia con los propios principios, a la tragedia del teorema de incompletud de Gödel. Pero para que mi texto funcionara (justo por su fuente de inspiración), tenía que explicar la relación entre el sistema axiomático de Peano y Gödel. 

Y me puse a investigar. Todo iba más o menos bien, pues pude encontrar un mini-texto de divulgación muy claro sobre los Principia Mathematica de Russell... pero ¿a qué venía Russell? Pues que uno de los puntos de partida de los Principia Mathematica era definir todo aquello que Peano había dejado sin definición: cero, sucesor, conjunto. Y entonces, contaba el articulito, Frege había llegado a definiciones similares a las de Russell... pero con un pequeño problema: ese sistema derivaba en lo que Russell descubrió: la paradoja que lleva su nombre. 

Russell le sacó la vuelta a la paradoja con la teoría de tipos. Todo iba bien: ahora sólo faltaba darle sentido a la última frase del artículo de divulgación: que después Gödel y Turing pondrían fin a aquella batalla. Bueno, era momento de entender qué relación había entre los PM y Gödel. Y entonces me encontré a Hilbert... 

David Hilbert... 

En 1900 en París, justo donde Russell acababa de conocer a Peano, David Hilbert presentó los 23 problemas que la matemática futura tenía que resolver. De ellos, el segundo problema era saber si la matemática era consistente... es decir: congruente. Y los teoremas de incompletud de Gödel lo que harían sería dar una respuesta negativa a ese problema... y dar por terminado el llamado programa de Hilbert. 

El programa tenía dos pasos: 1) formalizar toda la aritmética. ¡Eso fue justo lo que hicieron Russell y Whitehead con los Principia Mathematica! y 2) demostrar su consistencia. Fue lo que Gödel deshizo... digo, porque no lo hizo, pero digamos que llevó a cabo la segunda parte del programa a pesar del nefasto desenlace. 

Para ese momento ya me había percatado de lo poco fructífero que iba a resultar mi post: a penas alcanzaba a comprender cosas muy básicas del asunto, y de esa manera es imposible explicar nada. También descubrí que la analogía, casi metafórica, que quería hacer entre la congruencia moral y la congruencia epistémica... ya se le había ocurrido a alguien seriamente: uno de los artículos que encontré en Miselanea Matemática (la revista de divulgación de la Sociedad Matemática Mexicana), lo señalaba ligeramente: el teorema de Gödel tiene uso en teorías de la acción. Poco después un amigo en FB me dio incluso los nombres de las personas y papers que hablaban sobre el asunto (¡Chisholm! ¡Ese mismo que leí en la maestría sobre intencionalidad!). 

Pronto me di cuenta que hacer ese texto de manera correcta iba a ser imposible... y yo sólo quería un pequeño distractor de la tesis. Fue muy triste. 

Y fue más triste sobre todo porque, ente las ideas que se iban acomodando para darle la perfecta conclusión a mi texto, estaba el mismo Bertrand Russell: su último texto sobre filosofía de las matemáticas lo escribió desde la cárcel. El activismo político de Russell, como todo mundo sabe, le trajo demasiados problemas. Muchos consideran que, además del Nobel de Literatura, se merecía también el Nobel de la Paz. 

De pronto me conmoví profundamente: la vida de Russell fue una epopeya en muchos más sentidos de los que mi sesera puede comprender. Aquello que en su vida tenía en más alta estima fue la congruencia, llevada hasta sus últimas y más formales consecuencias.